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Version: 24o

Zahlensysteme

Aktuelle Computer kennen im wesentlichen zwei Zustände: Strom- oder Nicht-Strom. Da es nichts dazwischen gibt, werden diese Zustände auch "binär" genannt. Dies kann mit Zahlen wie folgt dargestellt werden:

  • 0 --> kein Strom
  • 1 --> Strom

Da wir Menschen uns besser im Zehnersystem zurechtfinden, wo es 10 eindeutige Zeichen gibt, brauchen wir eine Möglichkeit, zwischen diesen System hin- und herzurechnen. Jedes dieser sog. Stellenwertsysteme ist gleich aufgebaut. Schauen wir uns das Zehnersystem an, bemerkt man, dass jede stelle mit einer 10er Potenz multipliziert wird.

Zehnersystem

 328=300+20+8=3100+210+81=3102+2101+8100\ \begin{aligned} 328 &= 300 + 20 + 8 \\ &= 3 * 100 + 2 * 10 + 8 * 1 \\ &= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 \\ \end{aligned}

Binärsystem (Dualsystem oder auch Zweiersystem)

Nun gibt es nur zwei eindeutige Zeichen, 0 und 1, und jede Stelle wird mit einer Zweierpotenz multipliziert. In der folgenden Tabelle sind die ersten 12 Dezimalzahlen auch als Binärzahl angegeben.

BinärDezimal
020_20
121_21
10210_22
11211_23
1002100_24
1012101_25
1102110_26
1112111_27
100021000_28
100121001_29
101021010_210
101121011_211
110021100_212

Umrechnung Binär -> Dezimal

Die Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem erfolgt durch Ausmultiplizieren mit den entsprechenden Zweierpotenzen.

Beispiel: 1011

10112=123+022+121+120=18+04+12+11=1110\begin{aligned} 1011_2 &= 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \\ &= 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \\ &= 11_{10} \end{aligned}

Umwandlung Dezimalsystem -> Binärsystem

Für die Umrechnung vom Dezimalsystem zum Binärsystem ist die Tabelle der Zweierpotenzen essenziell:

282^8272^7262^6252^5242^4232^3222^2212^1202^0
2561286432168421

Beispiel: 143

Die erste Zweierpotenz, die kleiner ist als 143 ist, ist 27=1282^7 = 128 -> die Binärzahl hat also 8 Stellen.

Nun wird für jede Stelle überprüft, ob die entsprechende Zweierpotenz zur Zwischensumme dazuaddiert werden kann, oder ob man dadurch bereits eine zu grusse Zahl erhält.

2er-Potenz272^7262^6252^5242^4232^3222^2212^1202^0Zwischensumme
Rechnungsschritte1286432168421
1. 128 <143\lt 1431128
2. 128 + 64 143\not \lt 14310128
3. 128 + 32 143\not \lt 143100128
4. 128 + 16 143\not \lt 1431000128
5. 128 + 8 <143\lt 14310001136
6. 136 + 4 <143\lt 143100011140
7. 140 + 2<143\lt 1431000111142
8. 142 + 1=143= 14310001111143
Bin → Dez

Wandeln Sie vom vom Binär- ins Dezimalsystem um.

SSR
SSR
SSR
Dez → Bin

Wandeln Sie vom Dezimal- ins Binärsystem um.

SSR
SSR
SSR