Zahlensysteme

Aktuelle Computer kennen im wesentlichen zwei Zustände: Strom- oder Nicht-Strom. Da es nichts dazwischen gibt, werden diese Zustände auch "binär" genannt. Dies kann mit Zahlen wie folgt dargestellt werden:

• 0 --> kein Strom
• 1 --> Strom

Da wir Menschen uns besser im Zehnersystem zurechtfinden, wo es 10 eindeutige Zeichen gibt, brauchen wir eine Möglichkeit, zwischen diesen System hin- und herzurechnen. Jedes dieser sog. Stellenwertsysteme ist gleich aufgebaut. Schauen wir uns das Zehnersystem an, bemerkt man, dass jede stelle mit einer 10er Potenz multipliziert wird.

Zehnersystem

$$\ \begin{aligned} 328 &= 300 + 20 + 8 \\ &= 3 * 100 + 2 * 10 + 8 * 1 \\ &= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 \\ \end{aligned}$$

Binärsystem (Dualsystem oder auch Zweiersystem)

Nun gibt es nur zwei eindeutige Zeichen, 0 und 1, und jede Stelle wird mit einer Zweierpotenz multipliziert. In der folgenden Tabelle sind die ersten 12 Dezimalzahlen auch als Binärzahl angegeben.

Binär	Dezimal
$0_2$	0
$1_2$	1
$10_2$	2
$11_2$	3
$100_2$	4
$101_2$	5
$110_2$	6
$111_2$	7
$1000_2$	8
$1001_2$	9
$1010_2$	10
$1011_2$	11
$1100_2$	12

Umrechnung Binär -> Dezimal

Die Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem erfolgt durch Ausmultiplizieren mit den entsprechenden Zweierpotenzen.

Beispiel: 1011

$$\begin{aligned} 1011_2 &= 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \\ &= 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \\ &= 11_{10} \end{aligned}$$

Umwandlung Dezimalsystem -> Binärsystem

Für die Umrechnung vom Dezimalsystem zum Binärsystem ist die Tabelle der Zweierpotenzen essenziell:

$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
256	128	64	32	16	8	4	2	1

Beispiel: 143

Die erste Zweierpotenz, die kleiner ist als 143 ist, ist $2^7 = 128$ -> die Binärzahl hat also 8 Stellen.

Nun wird für jede Stelle überprüft, ob die entsprechende Zweierpotenz zur Zwischensumme dazuaddiert werden kann, oder ob man dadurch bereits eine zu grusse Zahl erhält.

2er-Potenz	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$	Zwischensumme
Rechnungsschritte	128	64	32	16	8	4	2	1
1. 128 $\lt 143$	1								128
2. 128 + 64 $\not \lt 143$	1	0							128
3. 128 + 32 $\not \lt 143$	1	0	0						128
4. 128 + 16 $\not \lt 143$	1	0	0	0					128
5. 128 + 8 $\lt 143$	1	0	0	0	1				136
6. 136 + 4 $\lt 143$	1	0	0	0	1	1			140
7. 140 + 2$\lt 143$	1	0	0	0	1	1	1		142
8. 142 + 1$= 143$	1	0	0	0	1	1	1	1	143

Bin → Dez

Wandeln Sie vom vom Binär- ins Dezimalsystem um.

SSR

SSR

SSR

Dez → Bin

Wandeln Sie vom Dezimal- ins Binärsystem um.

SSR

SSR

SSR